来源 | 雷达信号处理matlab
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雷达基本工作原理
我们知道在雷达工作过程中，雷达发射机产生的大功率电磁波，经天线辐射至空间中，在某一个很窄的方向上形成波束，向前传播。
图源自网络
当电磁波遇到目标后，将沿着各个方向产生折射，其中一部分电磁能量反射回雷达所在的方向，被雷达天线获取后送到接收机，形成回波信号。如上图所示。由于传播过程中电磁能量会随着传播距离而衰减，因而雷达回波信号非常微弱，几乎被噪声所淹没。接收机放大微弱的回波信号，经过信号处理机处理，提取出包含在回波的信息，送到显示器，显示出目标的距离、方向、速度等。
脉冲压缩处理（匹配滤波）
在雷达应用中，对雷达的作用距离、分辨能力、测量精度等性能指标有明确的要求。由上期模糊函数可知，提高雷达距离分辨能力和测距精度，需要信号具有大的带宽；而提高速度分辨力和测速精度，需要信号具有大的时宽。
除此之外，提高雷达系统的作用距离还要求信号具有大的能量，在系统的发射设备峰值功率受限的情况下，大的信号能量只能靠加大信号的时宽得到，这都要求信号具有大的时宽、带宽乘积。
由信号与系统理论可知，普通信号的时宽带宽积为一常量，所以信号同时具有大的时宽和带宽是不可能的。而脉冲压缩技术的出现有效地解决了雷达系统作用距离和距离分辨力之间的矛盾。脉冲压缩处理将发射的宽脉冲信号压缩成窄脉冲信号，既可以发射宽脉冲以提高平均功率和雷达的检测能力，又能保持窄脉冲的距离分辨率。
脉冲压缩信号的大时宽带宽积的性能，大多是通过信号的非线性相位调制获得的，如脉宽内线性调频、非线性调频、频率编码和相位编码等。
雷达几乎都是在数字域进行脉冲压缩处理的，脉冲压缩处理本身就是实现信号的匹配滤波，只是在模拟域一般称为匹配滤波，而在数字域称为脉冲压缩。
由#匹配滤波器讲解#可知，匹配滤波器是输入端输入信号与加性白噪声，输出端信噪比最大的滤波器，即一个与输入信号相匹配的最佳滤波器。而雷达对目标的检测概率随着信噪比的增加而增加。
线性调频信号（LFM或Chirp）
线性调频信号（Linear Frequency Modulation）的突出优点是匹配滤波器对回波信号的多普勒频移不敏感，即使回波信号有较大的多普勒频移，匹配滤波器仍能起到脉冲压缩的作用，缺点是输出响应将产生与多普勒频移成正比的附加时延。
线性调频矩形脉冲信号的表达式可写为
其中，信号的复包络为
式中 为脉冲宽度； 为调频斜率， 为调频带宽，也称频偏。
其中 表示宽度为 的矩形脉冲，即
信号的瞬时频率为
信号波形示意图如下图所示。
典型的线性调频波形如下图所示。
线性调频信号信号的频谱特性
线性调频信号的频谱由信号的复包络完全决定。其傅里叶变换形式为
作变量代换 ，上式即可化为
其中积分限
采用菲涅尔（Fresnel）积分公式
考虑其对称性
信号频谱可表示为
下图显示了线性调频波形实部、虚部和幅度谱的典型曲线。
根据菲涅尔积分的性质，当时 ，信号 95% 以上的能量集中在 的范围内，频谱接近于矩形。下图给出了 、 、 的频谱。
当 时，上式的频谱可近似表示为
这时， 的幅度谱 和相位谱 可近似表示为
本文参考《雷达系统分析与设计（第三版）》，有兴趣的可以购买书本帮助理解。
由模糊函数可知，雷达系统想要同时满足高距离分辨率和高速度分辨率，就必须采用大时宽带宽积信号。对于一个普通信号，其时宽带宽积为一个常数，即窄脉冲具有宽频带，宽脉冲具有窄频带。
而脉冲压缩处理可以将发射的宽脉冲信号压缩成窄脉冲信号，使信号既可以发射宽脉冲以提高平均功率和雷达的速度分辨率，又能保持窄脉冲的距离分辨率。而脉冲压缩处理本身就是信号的匹配滤波，只是在模拟域一般称为匹配滤波，在数字域称为脉冲压缩。
脉冲压缩信号的大时宽带宽积的性能，大多是通过信号的非线性相位调制获得的，如脉宽内线性调频、非线性调频、频率编码和相位编码等。
LFM信号的脉冲压缩
假设雷达发射线性调频脉冲信号为
式中， ， 为发射脉冲宽度， 为中心载频， 为调频斜率， 为调频带宽。该信号的复包络为
则该复包络的离散信号(采样间隔为)为
下图为发射脉冲宽度，调频带宽，采样间隔时LFM 信号及其幅频特性。
假定目标初始距离 对应的时延为 ，即 ；目标的径向速度为 。若不考虑幅度的衰减，则接收信号为
式中 为相对于发射信号的时延，则
其中 是光速。则
其中
接收信号进行混频、滤波，得到接收的基带复信号模型为
由于 ，故 ，目标的多普勒频率 ，时延项 与时间 无关，包络检波时为常数，因此
时域脉冲压缩
根据匹配滤波方程，令匹配滤波器的冲击响应 ，则匹配滤波器的输出为
则匹配滤波器输出为
其模值为
可见，输出信号在 和 处取得最大值。
LFM 信号时域匹配滤波输出信号如下图所示。
脉压输出结果均具有 函数的包络形状，其 主瓣宽度为 ，第一旁瓣的归一化副瓣电平为 。如果输入脉冲幅度为1，匹配滤波器在通带内传输系数的增益为1，则输出脉冲幅度为
这里， ，表示输入脉冲和输出脉冲的宽度比，称为压缩比，即为时宽带宽积。
下图为 LFM 信号经过匹配滤波后输出的结果，从图中我们可以看出输出结果与辛格函数高度吻合。
图中反映出理论与仿真结果吻合良好。第一旁瓣的归一化副瓣电平为 ，其 主瓣宽度为 。
由此可以看出，对LFM信号，匹配滤波器对回波信号的多普勒频移不敏感，因而可以用一个匹配滤波器来处理具有不同多普勒频移的信号，这将大大简化信号处理系统；另外，这类信号的产生和处理都比较容易。
频域脉冲压缩
现代雷达的脉冲压缩处理均采用数字信号处理的方式。实现方法有两种：当要求较小的脉压比时，经常采用时域相关的处理方式；当要求较大的脉压比时，通常利用 FFT 在频域实现。
由于匹配滤波器是线性时不变系统，根据傅立叶变换的性质，
当两个信号都被正确采样时，脉冲压缩输出信号可以表示为
下图表示在频域实现线性调频信号数字脉冲压缩的方框图。
采用频域实现脉冲压缩方法相对于时域卷积而言，其运算量将大为减少，而且在脉冲压缩时可以利用加窗函数来抑制旁瓣，只需将匹配滤波器系数与窗函数预先进行频域相乘(频域加窗)或者时域相乘(时域加窗)，即
其中为 窗函数，可以根据需要选取合适的窗函数。将其结果预先存入DSP的匹配滤波器系数表中，不需要增加运算量。
需要注意的是，FFT/IFFT 的点数不是任意选取的。假设输入信号点数为 ，滤波器阶数为 ，那么经过滤波后的输出信号点数应为 ，则对于 FFT 点数的选择必须保证其大于等于 ，通常取 的幂对应的数值大于等于 。因此，在对滤波器系数及输入信号 进行 FFT 之前,要先对序列进行补零处理。
假定雷达脉冲压缩处理的距离窗定义为
其中， 和 分别表示雷达探测的最大和最小作用距离。单基地雷达在发射期间不接收，因此雷达的最小作用距离取决于发射脉冲宽度，例如，若脉冲宽度 ，则 ，表明在近距离存在 的盲区。
根据奈奎斯特采样定理，对实信号而言，采样频率 ，采样间隔 。对时宽为 的 LFM 信号 FFT 的频率分辨率为 ，则所要求的最小样本数为
因此，总共需要（ ）个实样本或（ ）个复样本才能完全描述时宽为 、带宽为 的 LFM 波形。假定复采样间隔 对应的距离量化间隔为 （通常小于或等于距离分辨率 ），则雷达脉冲压缩处理的距离穿对应的距离单元数为 ，因此，完成接收窗 信号的频域脉压需要的 FFT 的点数为
实际中为了更好地实现 FFT，通过补零将扩展为 的幂，即 FFT 的点数为
LFM 信号频域匹配滤波输出信号如下图所示。
因为线性调频信号通过匹配滤波器后，输出压缩脉冲的包络近似为 形状。其中最大的第一对旁瓣比主瓣电平小 ，其它旁瓣随其离主瓣的间隔 按 的规律衰减，旁瓣零点间隔为 。
在多目标环境中，强目标回波的旁瓣会埋没附近较小目标的主瓣，导致目标丢失。为了提高分辨多目标的能力，必须采用旁瓣抑制或加权技术。
加权可以在发射端、接收端或收、发两端上进行，分别称为单向加权或双向加权，其方式可以是频域幅度或相位加权，也可以是时域幅度或相位加权。此外，加权可在射频、中频或视频级中进行。
为了使发射机工作在最佳功率状态，一般不在发射端进行加权。目前应用最广的是在接收端进行脉冲压缩过程中采用频域幅度加权。
现在假设目标分别距离为 60km，75km，使用线性调频脉冲压缩信号对目标进行测距。其仿真结果如下图所示。
本文参考《雷达系统分析与设计（第三版）》，有兴趣的可以购买书本帮助理解。
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