最新的字典里，“呆”是有动词释义的，而且可以等同于“待”，即英语中的“stay”。例句中也给出了用法。也就是说：
“待在家里”和“呆在家里”都是没有问题的。
所以你以为本文就结束了？
根据马显斌的研究结果表明，“待”字“是明清时期引申出“停留”的含义，而“呆”字直到现当代才出现“停留”的含义，所以追溯起来，“待”显得更稳妥一些，马显斌认为，“呆”、“待”两字的混用情况是在新中国建立前后的现、当代文学作品中才出现的。因此，从字源看，表示“停留”意义，用“待”更合适一些。[1]
简而言之，就是说“呆”比“待”晚几百年被赋予“停留”的含义，所以“待”资格更老一些。
这一点从台湾的字典解释就能看出：
这是台湾字典对“呆”字的释义，并没有“停留”的意思。因为历史原因，台湾没有经历中国大陆的汉语改革（比如汉字简化运动，这也就是为什么台湾现在还在使用繁体字），所以基本保留了古时的汉字释义。
在我看来，既然新华字典已经规定了“呆在家里”和“待在家里”可以通用，那也就不再深究了。
不过我认为“呆”和“待”在用作“停留”时，还是会有一些小区别，以下是我自己的观点：
待：侧重于身体、动作上的停留（physical）
呆：侧重于精神、意识上的停滞（mental）
例句：
你待在此地不要动，我去给你买几个橘子。
你再待一会儿，我马上就到。
你呆在这儿干嘛呢？叫你几声都没听见。
别呆着了，还不快去追！
你待在此地不要动，我去给你买几个橘子。
你再待一会儿，我马上就到。
你呆在这儿干嘛呢？叫你几声都没听见。
别呆着了，还不快去追！
使用两个字的语境也不一样，“待”更适合用在正式的场合，“呆”适用于口语、一般场合。
例句：
假如在这种场合用了“呆”会怎样呢？
是不是感觉气氛有点怪怪的呢？
庚号二建议，在和领导、师长、客户、职场人士等进行文字交流时，应该使用“待”字。“呆”虽和“待”可以通用，但“呆”字给人的第一印象便是“呆板、傻乎乎、fool”，正式场合要慎用。
朋友或亲人之间，就随便用吧。
（以上为个人观点，欢迎留言指正）
参考文献：[1]马显彬，《语言文字研究：“呆”与“待”混用探源》返回搜狐，查看更多